Atividades turmas 305 e 306

                                                                

                                                            Exercícios  1

1)        Numa cidade, 4 ruas estão sem nome. Existem 6 nomes para serem distribuídos a essas ruas.   Calcule o número de maneiras de atribuir os nomes.

2)      Quantos números menores que 5000, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 , 5 e 7.

3)      Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os algarismos ímpares, sem repetição, de modo que terminem sempre com 3 ?

4)      Para ocupar os cargos de presidente e vice presidente do grêmio de um colégio, candidataram-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha?

                                                                    Exercícios 2

1)      Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?

2)      Em uma pesquisa encomendada por uma operadora turística com o objetivo de descobrir os destinos nacionais mais cobiçados pelos brasileiros, o entrevistado deve escolher, em ordem de preferência, três destinos entre os dez apresentados pelo entrevistador. Um dos destinos apresentados é a cidades de Natal.

a)      Quantas respostas diferentes podem ser obtidas?

b)      Quantas respostas possíveis apresentam a cidade de Natal como a mais votada?

c)      Quantas respostas possíveis não contem Natal entre os destinos?

3)      Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, alemão, italiano e japonês.

a)      De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três desses cursos?

b)      De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três desses cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?

4)      O vencedor de um concurso de redação de um colégio poderá escolher 5 livros entre 10 de Machado de Assis, 7 de Érico Veríssimo e 5 da Clarice Lispector. De quantos modos distintos o vencedor poderá fazer a escolha de modo que:

a)      sejam selecionados dois de Machado de Assis, dois de Érico Veríssimo e um de Clarice Lispector ?

b)      Nenhum dos livros escolhido seja de Machado de Assis?

c)      Pelo menos 4 livros de Clarice Lispector sejam escolhidos?

5)      Num grupo de 20 pessoas há 6 mulheres. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas, de modo que nelas haja pelo menos uma mulher?

3º ano

Estatística: Média, Mediana e Moda.

https://www.youtube.com/watch?v=R_zHxg3WZ6E

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO

1. Amplitude Total (A_t ou R)

É a diferença entre o maior valor e o menor valor observado da variável em estudo.

A_t = Xmáx - Xmín

2. Limites de Classe: São os números extremos de cada intervalo: sendo assim, temos um limite inferior e um superior. Se a primeira classe tiver um intervalo de notas de 0 até 10, o 0 será o limite inferior enquanto que o 10 será o limite superior desta classe.

3. Classe: É cada um dos intervalos em que os dados são agrupados.

Existem várias maneiras de apresentarmos o intervalo de classes: iguais ou diferentes

entre si. Porém, sempre que possível, deveremos optar por intervalos iguais, o que facilitará os cálculos posteriores. Mas mesmo com intervalos iguais, as distribuições poderão apresentar-se da seguinte forma:

0 —10: compreende todos os valores entre 0 e 10, exclusive os extremos.

0 |---| 10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive os extremos.

0 ---|  10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 10 e exclusive o 0.

0 |--- 10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 0 e exclusive o 10.

Como optaremos por este último tipo (0  |--- 10), poderemos definir como intervalo de classe a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. Portanto, no exemplo, 10 – 0 = 10 é o intervalo ou amplitude da classe que será representado pela letra h.

4.. Ponto médio das classes (Xi): É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Assim, se a classe for 0 |--- 10, teremos ( 0 + 10 ) / 2 = 5, que será o ponto médio da classe.

5. Número de Classes ( K)

Quantas classes serão necessárias para representar o fato? Existem vários critérios que podem ser utilizados a fim de determinar o número de classes, porém tais critérios servirão apenas como indicação e nunca como regra fixa, pois caberá sempre ao pesquisador estabelecer o melhor número, levando-se em conta o intervalo de classe e a facilidade para os posteriores cálculos numéricos.

Neste estudo, destacaremos a Fórmula de Sturges, que estabelece que o número de classes K é calculado por:

K = 1 + 3,3 log n onde n = número de elementos observados.

6.Amplitude das Classes (h)

 h =  amplitude total                       

       número de classes

 Exemplo:

1) Observando a altura dos alunos de uma série do 2º grau, foram obtidos os seguintes valores em metros:

1,75     2,01     1,98     1,80     2,05     1,78     1,83     1,70     1,94     1,88

2,02     1,91     1,87     1,76     1,79     1,96     1,82     1,90     1,87     2,04

1,81     1,80     1,79     1,76     2,02     1,96     1,80     1,75     1,92     1,77

1,88     1,84     1,76     1,97     1,81     1,98     2,01     1,75     1,99     2,00

a) Amplitude Total:  A_t = X _máx - X_min

b) Número de classes:  K = 1 + 3,3 log n onde n = número de elementos observados.

c) Amplitude das classes:  h = At : k  

d) Construção da tabela

2) Um teste para aferir o Quociente de Inteligência em determinada classes de alunos de uma Faculdade deu origem a sequencia de valores ( n = 70 )

111      90        121      105      122      61        128      112      128      93

108      138      88        110      112      112      97        128      102     125

87        119      104      116      96        114      107      113      80        113

123      95        115      70        115      101      114      127      92        103

78        118      100      115      116      98        119      72        125      109

79        139      75        109      123      124      108      125      116      83

94        106      117      82        122      99        124      84        91        130

3) Considere as notas de um teste de inteligência aplicado a alunos de um estabelecimento de ensino:

Circunferência

Exercícios - Circunferência

1) Determine as coordenadas do centro C (a,b) e o raio da circunferência de equação:

a) ( x-5)² + (y+ 6)² = 8                                      b) x² + (y - 4)² = 25

2) Determine a equação da circunferência:

a) de centro C ( 2,5) e raio r = 3                               b) de centro C ( -2 , -4) de raio r = \/11

c) de centro C ( 3, 0) e raio  r = 4

3)Uma circunferência com centro em C ( -1, 2 ) passa pelo ponto P ( 2, 0). Qual é a equação dessa circunferência?

4) Escreva a equação geral da circunferência de centro C ( 1, 2) e de raio r = 4.

5) Uma circunferência de centro C ( 3, -1) passa pelo ponto A ( 6, 3). Escreva a equação geral da circunferência.

6) A equação x² + y² + 12x - 4y - 9 = 0 representa uma circunferência. Calcule as coordenadas do centro da circunferência e o seu raio.

                                                     Exercícios Complementares - Circunferência

1) Quais são as coordenadas do centro de uma circunferência à qual está associada a equação x² + y² + 8x + 11 = 0 ?

2) A equação x² + y² - 4y = 0 está associada a uma circunferência de centro C (a,b) e raio r. Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.

3) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² = 2( x - y ) + 1.

4) Determine a equação geral da circunferência de centro C (1, 3) e raio r = 3.

5) Determine a equação da circunferência de com centro no ponto C ( 2,1) e que passa pelo ponto 

   A (1, 1).

6) Determine a equação reduzida da circunferência em que os pontos A (4, -2) e B ( 2, 0) são os extremos um diâmetro.

7) Determine a equação da circunferência de centro C ( -3, 4) e raio  r = 2.

8) Determine as coordenadas do centro  e o raio da circunferência de equação ( x + 2)² + ( y - 1)² = 25

9) O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A ( 2, -5) e B ( -2, -3). Se o raio dessa circunferência é 3 \/2, determine a equação da circunferência.

Exercícios Complementares: Distância entre dois pontos, ponto médio e Alinhamento de três pontos.

1) Calcule em cada caso a distância entre os dois pontos dados:

a) ( 1,3) e ( 9,9)              b) ( -3,1) e (5, -14)

2) Calcule a distância do ponto M(-12, 9) à origem.

3)Determine a coordenada do ponto médio do segmento AB quando A(3, -1) e B (-2, 1).

4)  Uma das extremidades de um segmento AB é o ponto A(3, 2). Sendo M (-1, 3) o ponto médio desse segmento, determine as coordenadas da outra extremidade do segmento.

5) Calcule o perímetro do triângulo ABC sabendo que A( 1,3), B (7,3) e C (7, 11).

6) Determine o ponto do eixo das abscissas equidistantes dos pontos P( -2, 2) e Q ( 2, 6).

7) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados:

a) A ( 0,2) , B ( -3,1) e C (4, 5)

b) A ( -2, 6) , B (4,8) e C ( 1, 7)

8) Os pontos A(x.3), B ( -2, -5) e C (-1, -3) são colineares. Qual é o valor de x?

Gabarito

1) a) d= 10

    b) d = 17

2) d = 15                          

3) ( 1/ 2 , 0 )                      4) B ( -5, 4)                  5) 24

6) ( 4, 0 )                          7) a) não   b) sim

8)  x = 2                         

Turma 302

Exercícios sobre Eventos

1) Um dado é lançado e o número da face voltada para cima é anotado.

a) Descreva o espaço amostral

b) Qual é o evento A " o número obtido é múltiplo de 3" ?

c) Qual é o evento B  "o número obtido não é primo" ?

2) Uma moeda é lançada duas vezes sucessivamente e observa-se a sequência de faces obtidas. Determine:

a) O espaço amostral

b) O evento E " ocorre ao menos uma cara"

3) Um número natural de 1 a 100 é escolhido ao acaso. Seja o evento E: " a soma dos pontos obtidos é menor ou igual a 9"

a) determine E

b) Qual é o número de elementos do evento complementar

4) Uma dado é lançado duas vezes, sucessivamente. Seja o evento E: " a soma dos pontos obtidos é menor ou igual a 9". Determine o evento complementar.

Video aula sobre Probabilidade

https://www.youtube.com/watch?v=SLzIbZ-7SBM

Turma 303

O gabarito está após a lista de exercícios.
Bom estudo!

Turmas : 303 e 304

As atividades se encontram na página do 3º ano. Observe a lista de exercício referente a sua turma. Selecione e imprima. Ou copie as atividades.
Turma 303 : Fazer como tarefa.
Turma 304: Levar a lista de exercícios, faremos em sala.
Turma 302: Levar a lista de exercícios, faremos em sala.
Turma 301: Levar a lista de exercícios, faremos em sala.

Circunferência

Equação reduzida

    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência. Então:

Equação reduzida:  (x - a)² + (y - b)² = r²

Observação: Se o centro da circunferência estiver na origem então a = 0 e b = 0 e teremos:

                       x² + y² = r²

Exemplos:

1) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C ( 4,7) e raio 2.

Temos: a = 4 , b = 7 e r = 2 

           (x - a)² + (y - b)² = r²

      

          ( x - 4 )² +( y - 7)² = 4    

  

2)  Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²

(x – 2)² + (y – 1)² = 1

3) Determinar as coordenadas do centro C e o raio da circunferência de equação                             
    ( x - 3)² + ( y + 1)² = 16.

 A equação reduzida da circunferência é do tipo  (x – a)² + (y – b)² = R²  assim temos:

 - a = -3 logo a = 3        ;       - b = 1  logo b = -1      e   r² = 16  logo r = 4

Assim: C ( 3, -1)  e r = 4

 Equação geral da circunferência

A equação normal da circunferência é o resultado do desenvolvimento da equação reduzida. Veja:

(x – a)² + (y – b)² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – R² = 0

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0

Exemplos:

1) Determinar a equação normal da circunferência de centro C (3, 9) e raio igual a 5.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 3)² + (y – 9)² = 5²
x² – 6x + 9 + y² – 18y + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0

2) A equação de uma circunferência com centro em C (a,,b) e raio r é x² +y² - 4x - 8y + 19 = 0

                                                                                                                  

– 2a = -4                        -2b = -8                  Dica: a e b é a metade dos coeficientes de x e y trocando o

    a = -4 / -2                      b = -8 / -2                      sinal

    a = 2                              b = 4

e         a² + b² – R² = 19

           2²  + 4² - r ² = 19

            4 + 16 - 19 = r²

                           1 = r²

                            r = 1

 C ( 2,4) e r = 1

Resumo

Distâncias

Equação geral da reta Equação reduzida da reta y = mx +b

Exercícios terceirão

Os exercícios complementares já estão a disposição na página de vocês.

Boletim

Queridos alunos, é muito importante que os pais ou o responsável vá retirar o boletim  neste sábado e converse com os professores. Estamos contando com a presença de vocês e seus pais.
Profª Ursula.

Determinantes

Galera dos 2º anos!

O vídeo sobre determinante já está disponível na página de vocês. Espero que gostem.

Videos 2

Olá 2º Ano!

Videos sobre matrizes estão na página do 2º ano.
Aproveitem!

Videos

 Olá!

Na página dos 3º anos estão dicas de vídeos para reforçar o conteúdo de probabilidade.
Válido para os alunos do professor André e da professora Ursula.

Probabilidade

Experimento aleatório: É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis.

Exemplos: a) Lançamento de um dado.
                 b) Lançamento de uma moeda.
                 c) Loteria de números.
                 d) Extração de uma carta de baralho.
                 e) Abertura de um livro ao acaso para ver o número da página.

Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Notação: S

Exemplos: No lançamento de um dado, temos S = { 1,2,3,4,5,6}
                 No lançamento de uma moeda, temos S = { cara, coroa}
                 Para o sorteio do primeiro número da Mega-Sena temos S = { 1,2,3,4 ... 60}. E para o sorteio das seis dezenas o espaço amostral será formado por todos os conjuntos de seis dezenas com números distintos de 1 a 60.  Neste caso C60,6 = 50 063 860 resultados possíveis.

Evento é todo subconjunto de um espaço amostral  S de um experimento aleatório.

Exemplos: 1) No  lançamento simultâneo de e um vermelho, determine o espaço amostral e os eventos A: "sair o mesmo número em ambos os dados"; B: " sair soma 7" ; C: "sair soma menor que 5"; D: sair soma maior que 12".

Resolução: Espaço amostral:  S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),...,(6,5),(6,6) }
                 Evento A : sair o mesmo número em ambos os dados.  A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
                 Evento B : sair soma 7. B = { (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}
                 Evento C:  sair soma menor que 5. C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}
                 Evento D:  sair soma maior que 12. D = Ø   (vazio)

                 2) Uma caixa contém 20 bolas de mesmo peso e tamanho numeradas de 1 a 20. Uma pessoa com os olhos vendados, retira uma bola dessa caixa. Determine o evento A:a bola sorteada contém um múltiplo de 4 e o número de elementos deste evento.
                   
Resolução:  A = { 4, 8, 12, 16, 20 }  e n( A) = 5

Observação: n(E) = número de elementos do evento

Evento Complementar

Chamamos evento complementar de E , em relação a S ( espaço amostral) o evento que ocorre quando E não ocorre. Indica-se por  E^C 

Note que: E U E^C = S e  E ∩ E^C = Ø

Exemplo: No lançamento de um dado, observando o número da face superior, podemos descrever o evento A : obter um número ímpar.

Temos : A = { 1, 3, 5 } 

 Logo:  A^c = { 2, 4, 6}

                                                        Exercícios

1) Um dado é lançado e o número da face voltada para cima é anotado.
     a) Descreva S
     b) Qual é o evento A " o número obtido é múltiplo de 3?
     c) Qual é o evento B "o número obtido não é primo" ?

2) A confederação Brasileira de Futebol ( CBF ) realizou um sorteio para decidir em qual região do país seria disputado um torneio internacional. Determine o espaço amostral desse experimento.

3) Uma moeda é lançada duas vezes sucessivamente e observa-se a sequência de faces obtidas. Determine:
     a) S ( espaço amostral)
     b) o evento E "ocorre ao menos uma cara"

4) Um número natural de 1 a 100 é escolhido ao acaso. Seja o evento E "ocorre um número que é uma potência de base 2".
     a) Determine E
     b) Qual é o número de elementos de  E^C

5) Um dado é lançado duas vezes, sucessivamente. Seja o evento E: " a soma dos pontos obtidos é menor ou igual a 9". Determine E^C

6) Um experimento aleatório é composto de duas etapas: primeiro, uma moeda é lançada e, em seguida, um dado é lançado. Construa o espaço amostral desse experimento, utilizando a representação K: cara e C: coroa.

             

Permutação Simples

É o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos em cada grupo.

A permutação é um caso particular do arranjo, isto é , quando n = p. 

Fórmula da permutação:  Pn  = n !

Exemplos:

1)  Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5 e 7?

                  A4,4 ou P4 = 4 ! = 4 . 3. 2 . 1 = 24

2) Quantos anagramas tem a  palavra  MITOS ?

     P5 = 5 ! = 120

3) Com relação aos anagramas da palavra ESCOLA, qual o número:

a) total deles?

b) dos que começam com consoante?

c) dos que começam e terminam com vogal?

d) dos que mantêm as letras E, S, A juntas e nessa ordem ?

e) dos que mantêm as vogais juntas?

Resolução:

a) Cada anagrama é uma permutação simples das letras E, S, C, O, L, A
    Logo, a resposta é P6 = 6! = 720

b) Nesse caso, temos anagrama que começam com S, C ou L. Em cada um deles basta permutar as 5 letras restantes.

       3 . P5 = 3 . 5! = 3 . 120 = 360
 =
c) São anagramas do tipo  vogal  . ____  _____  _____  _____ vogal
    Para preencher as extremidades temos os elementos E, O, A ;  logo, há 3 possibilidades de vogais para iniciar e duas para terminar e podemos preencher as posições retantes com as 4 letras que sobraram.
Logo a resposta é:  3 . 2 . 4! = 3 . 2 . 24 = 144.

d) O bloco ESA funciona como se fosse um elemento ( considero como uma letra apenas); basta, então,  permutar os elementos ESA , C, O, L

Logo a resposta é 4! = 24

e)  Cada bloco formado pelas vogais ( por exemplo, EOA ) funciona como um elemento e para cada bloco, temos P4  ( igual ao item anterior). Como não foi dado a ordem, significa que as letras que compõem o bloco podem permutar entre si.

Logo P4 . P3 = 4! . 3 ! = 24 . 6 = 144

Tente você!

Em relação aos anagramas da palavra VISTA, qual é o número:

a) total deles?
b) dos que começam com T ?
c) dos que terminam com vogal?
d) dos que contêm as letras IA juntas e nessa ordem?
e) dos que mantêm as vogais juntas?

Vídeo sobre análise combinatória ( fatorial e combinação)

http://youtu.be/7egxgnVeGKY

http://www.youtube.com/watch?v=fK_v-hyMrUo