Circunferência - 304
Equação reduzida
(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência. Então:
Equação reduzida: (x - a)² + (y - b)² = r²
Observação: Se o centro da circunferência estiver na origem então a = 0 e b = 0 e teremos:
x² + y² = r²
Exemplos:
1) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C ( 4,7) e raio 2.
Temos: a = 4 , b = 7 e r = 2
(x - a)² + (y - b)² = r²
( x - 4 )² +( y - 7)² = 4
2) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).
A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.
(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1
3) Determinar as coordenadas do centro C e o raio da circunferência de equação
( x - 3)² + ( y + 1)² = 16.
A equação reduzida da circunferência é do tipo (x – a)² + (y – b)² = R² assim temos:
- a = -3 logo a = 3 ; - b = 1 logo b = -1 e r² = 16 logo r = 4
( x - 3)² + ( y + 1)² = 16.
A equação reduzida da circunferência é do tipo (x – a)² + (y – b)² = R² assim temos:
- a = -3 logo a = 3 ; - b = 1 logo b = -1 e r² = 16 logo r = 4
Assim: C ( 3, -1) e r = 4
Equação geral da circunferência
A equação normal da circunferência é o resultado do desenvolvimento da equação reduzida. Veja:
(x – a)² + (y – b)² = R²
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – R² = 0
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0
Exemplos:
Exemplos:
1) Determinar a equação normal da circunferência de centro C (3, 9) e raio igual a 5.
(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 3)² + (y – 9)² = 5²
x² – 6x + 9 + y² – 18y + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0
(x – 3)² + (y – 9)² = 5²
x² – 6x + 9 + y² – 18y + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0
2) A equação de uma circunferência com centro em C (a,,b) e raio r é x² +y² - 4x - 8y + 19 = 0
– 2a = -4 -2b = -8 Dica: a e b é a metade dos coeficientes de x e y trocando o
a = -4 / -2 b = -8 / -2 sinal
a = 2 b = 4
e a² + b² – R² = 19
2² + 4² - r ² = 19
4 + 16 - 19 = r²
1 = r²
r = 1
C ( 2,4) e r = 1
Exercícios - Circunferência
1) Determine as coordenadas do centro C (a,b) e o raio da circunferência de equação:
a) ( x-5)² + (y+ 6)² = 8 b) x² + (y - 4)² = 25
2) Determine a equação da circunferência:
a) de centro C ( 2,5) e raio r = 3 b) de centro C ( -2 , -4) de raio r = \/11
c) de centro C ( 3, 0) e raio r = 4
3)Uma circunferência com centro em C ( -1, 2 ) passa pelo ponto P ( 2, 0). Qual é a equação dessa circunferência?
4) Escreva a equação geral da circunferência de centro C ( 1, 2) e de raio r = 4.
5) Uma circunferência de centro C ( 3, -1) passa pelo ponto A ( 6, 3). Escreva a equação geral da circunferência.
6) A equação x² + y² + 12x - 4y - 9 = 0 representa uma circunferência. Calcule as coordenadas do centro da circunferência e o seu raio.
Exercícios Complementares - Circunferência
1) Quais são as coordenadas do centro de uma circunferência à qual está associada a equação x² + y² + 8x + 11 = 0 ?
2) A equação x² + y² - 4y = 0 está associada a uma circunferência de centro C (a,b) e raio r. Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
3) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² = 2( x - y ) + 1.
4) Determine a equação geral da circunferência de centro C (1, 3) e raio r = 3.
5) Determine a equação da circunferência de com centro no ponto C ( 2,1) e que passa pelo ponto
A (1, 1).
6) Determine a equação reduzida da circunferência em que os pontos A (4, -2) e B ( 2, 0) são os extremos um diâmetro.
7) Determine a equação da circunferência de centro C ( -3, 4) e raio r = 2.
8) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação ( x + 2)² + ( y - 1)² = 25
9) O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A ( 2, -5) e B ( -2, -3). Se o raio dessa circunferência é 3 \/2, determine a equação da circunferência.
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