Circunferência

Equação reduzida

    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência. Então:

Equação reduzida:  (x - a)² + (y - b)² = r²

Observação: Se o centro da circunferência estiver na origem então a = 0 e b = 0 e teremos:

                       x² + y² = r²

Exemplos:

1) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C ( 4,7) e raio 2.

Temos: a = 4 , b = 7 e r = 2 

           (x - a)² + (y - b)² = r²

      

          ( x - 4 )² +( y - 7)² = 4    

  

2)  Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²

(x – 2)² + (y – 1)² = 1

3) Determinar as coordenadas do centro C e o raio da circunferência de equação                             
    ( x - 3)² + ( y + 1)² = 16.

 A equação reduzida da circunferência é do tipo  (x – a)² + (y – b)² = R²  assim temos:

 - a = -3 logo a = 3        ;       - b = 1  logo b = -1      e   r² = 16  logo r = 4

Assim: C ( 3, -1)  e r = 4

 Equação geral da circunferência

A equação normal da circunferência é o resultado do desenvolvimento da equação reduzida. Veja:

(x – a)² + (y – b)² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – R² = 0

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0

Exemplos:

1) Determinar a equação normal da circunferência de centro C (3, 9) e raio igual a 5.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 3)² + (y – 9)² = 5²
x² – 6x + 9 + y² – 18y + 81 – 25 = 0
x² + y² – 6x – 18y + 65 = 0

2) A equação de uma circunferência com centro em C (a,,b) e raio r é x² +y² - 4x - 8y + 19 = 0

                                                                                                                  

– 2a = -4                        -2b = -8                  Dica: a e b é a metade dos coeficientes de x e y trocando o

    a = -4 / -2                      b = -8 / -2                      sinal

    a = 2                              b = 4

e         a² + b² – R² = 19

           2²  + 4² - r ² = 19

            4 + 16 - 19 = r²

                           1 = r²

                            r = 1

 C ( 2,4) e r = 1