Olá 2º Ano!
Videos sobre matrizes estão na página do 2º ano.
Aproveitem!
domingo, 31 de março de 2013
Videos
Olá!
Na página dos 3º anos estão dicas de vídeos para reforçar o conteúdo de probabilidade.
Válido para os alunos do professor André e da professora Ursula.
Na página dos 3º anos estão dicas de vídeos para reforçar o conteúdo de probabilidade.
Válido para os alunos do professor André e da professora Ursula.
terça-feira, 26 de março de 2013
Probabilidade
Experimento aleatório: É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis.
Exemplos: a) Lançamento de um dado.
b) Lançamento de uma moeda.
c) Loteria de números.
d) Extração de uma carta de baralho.
e) Abertura de um livro ao acaso para ver o número da página.
Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Notação: S
Exemplos: No lançamento de um dado, temos S = { 1,2,3,4,5,6}
No lançamento de uma moeda, temos S = { cara, coroa}
Para o sorteio do primeiro número da Mega-Sena temos S = { 1,2,3,4 ... 60}. E para o sorteio das seis dezenas o espaço amostral será formado por todos os conjuntos de seis dezenas com números distintos de 1 a 60. Neste caso C60,6 = 50 063 860 resultados possíveis.
Evento é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório.
Exemplos: 1) No lançamento simultâneo de e um vermelho, determine o espaço amostral e os eventos A: "sair o mesmo número em ambos os dados"; B: " sair soma 7" ; C: "sair soma menor que 5"; D: sair soma maior que 12".
Resolução: Espaço amostral: S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),...,(6,5),(6,6) }
Evento A : sair o mesmo número em ambos os dados. A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
Evento B : sair soma 7. B = { (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}
Evento C: sair soma menor que 5. C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}
Evento D: sair soma maior que 12. D = Ø (vazio)
2) Uma caixa contém 20 bolas de mesmo peso e tamanho numeradas de 1 a 20. Uma pessoa com os olhos vendados, retira uma bola dessa caixa. Determine o evento A:a bola sorteada contém um múltiplo de 4 e o número de elementos deste evento.
Resolução: A = { 4, 8, 12, 16, 20 } e n( A) = 5
Observação: n(E) = número de elementos do evento
Exercícios
1) Um dado é lançado e o número da face voltada para cima é anotado.
a) Descreva S
b) Qual é o evento A " o número obtido é múltiplo de 3?
c) Qual é o evento B "o número obtido não é primo" ?
2) A confederação Brasileira de Futebol ( CBF ) realizou um sorteio para decidir em qual região do país seria disputado um torneio internacional. Determine o espaço amostral desse experimento.
3) Uma moeda é lançada duas vezes sucessivamente e observa-se a sequência de faces obtidas. Determine:
a) S ( espaço amostral)
b) o evento E "ocorre ao menos uma cara"
4) Um número natural de 1 a 100 é escolhido ao acaso. Seja o evento E "ocorre um número que é uma potência de base 2".
a) Determine E
b) Qual é o número de elementos de EC
5) Um dado é lançado duas vezes, sucessivamente. Seja o evento E: " a soma dos pontos obtidos é menor ou igual a 9". Determine EC
6) Um experimento aleatório é composto de duas etapas: primeiro, uma moeda é lançada e, em seguida, um dado é lançado. Construa o espaço amostral desse experimento, utilizando a representação K: cara e C: coroa.
Exemplos: a) Lançamento de um dado.
b) Lançamento de uma moeda.
c) Loteria de números.
d) Extração de uma carta de baralho.
e) Abertura de um livro ao acaso para ver o número da página.
Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Notação: S
Exemplos: No lançamento de um dado, temos S = { 1,2,3,4,5,6}
No lançamento de uma moeda, temos S = { cara, coroa}
Para o sorteio do primeiro número da Mega-Sena temos S = { 1,2,3,4 ... 60}. E para o sorteio das seis dezenas o espaço amostral será formado por todos os conjuntos de seis dezenas com números distintos de 1 a 60. Neste caso C60,6 = 50 063 860 resultados possíveis.
Evento é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório.
Exemplos: 1) No lançamento simultâneo de e um vermelho, determine o espaço amostral e os eventos A: "sair o mesmo número em ambos os dados"; B: " sair soma 7" ; C: "sair soma menor que 5"; D: sair soma maior que 12".
Resolução: Espaço amostral: S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),...,(6,5),(6,6) }
Evento A : sair o mesmo número em ambos os dados. A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
Evento B : sair soma 7. B = { (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}
Evento C: sair soma menor que 5. C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}
Evento D: sair soma maior que 12. D = Ø (vazio)
2) Uma caixa contém 20 bolas de mesmo peso e tamanho numeradas de 1 a 20. Uma pessoa com os olhos vendados, retira uma bola dessa caixa. Determine o evento A:a bola sorteada contém um múltiplo de 4 e o número de elementos deste evento.
Resolução: A = { 4, 8, 12, 16, 20 } e n( A) = 5
Observação: n(E) = número de elementos do evento
Evento Complementar
Chamamos evento complementar de E , em relação a S ( espaço amostral) o evento que ocorre quando E não ocorre. Indica-se por EC
Note que: E U EC = S e E ∩ EC = Ø
Exemplo: No lançamento de um dado, observando o número da face superior, podemos descrever o evento A : obter um número ímpar.
Temos : A = { 1, 3, 5 }
Logo: Ac = { 2, 4, 6}
1) Um dado é lançado e o número da face voltada para cima é anotado.
a) Descreva S
b) Qual é o evento A " o número obtido é múltiplo de 3?
c) Qual é o evento B "o número obtido não é primo" ?
2) A confederação Brasileira de Futebol ( CBF ) realizou um sorteio para decidir em qual região do país seria disputado um torneio internacional. Determine o espaço amostral desse experimento.
3) Uma moeda é lançada duas vezes sucessivamente e observa-se a sequência de faces obtidas. Determine:
a) S ( espaço amostral)
b) o evento E "ocorre ao menos uma cara"
4) Um número natural de 1 a 100 é escolhido ao acaso. Seja o evento E "ocorre um número que é uma potência de base 2".
a) Determine E
b) Qual é o número de elementos de EC
5) Um dado é lançado duas vezes, sucessivamente. Seja o evento E: " a soma dos pontos obtidos é menor ou igual a 9". Determine EC
6) Um experimento aleatório é composto de duas etapas: primeiro, uma moeda é lançada e, em seguida, um dado é lançado. Construa o espaço amostral desse experimento, utilizando a representação K: cara e C: coroa.
sexta-feira, 15 de março de 2013
Permutação Simples
É o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos em cada grupo.
A permutação é um caso particular do arranjo, isto é , quando n = p.
Fórmula da permutação: Pn = n !
Exemplos:
1) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5 e 7?
A4,4 ou P4 = 4 ! = 4 . 3. 2 . 1 = 24
2) Quantos anagramas tem a palavra MITOS ?
P5 = 5 ! = 120
3) Com relação aos anagramas da palavra ESCOLA, qual o número:
a) total deles?
b) dos que começam com consoante?
c) dos que começam e terminam com vogal?
d) dos que mantêm as letras E, S, A juntas e nessa ordem ?
e) dos que mantêm as vogais juntas?
Resolução:
a) Cada anagrama é uma permutação simples das letras E, S, C, O, L, A
Logo, a resposta é P6 = 6! = 720
b) Nesse caso, temos anagrama que começam com S, C ou L. Em cada um deles basta permutar as 5 letras restantes.
3 . P5 = 3 . 5! = 3 . 120 = 360
=
c) São anagramas do tipo vogal . ____ _____ _____ _____ vogal
Para preencher as extremidades temos os elementos E, O, A ; logo, há 3 possibilidades de vogais para iniciar e duas para terminar e podemos preencher as posições retantes com as 4 letras que sobraram.
Logo a resposta é: 3 . 2 . 4! = 3 . 2 . 24 = 144.
d) O bloco ESA funciona como se fosse um elemento ( considero como uma letra apenas); basta, então, permutar os elementos ESA , C, O, L
Logo a resposta é 4! = 24
e) Cada bloco formado pelas vogais ( por exemplo, EOA ) funciona como um elemento e para cada bloco, temos P4 ( igual ao item anterior). Como não foi dado a ordem, significa que as letras que compõem o bloco podem permutar entre si.
Logo P4 . P3 = 4! . 3 ! = 24 . 6 = 144
Tente você!
Em relação aos anagramas da palavra VISTA, qual é o número:
a) total deles?
b) dos que começam com T ?
c) dos que terminam com vogal?
d) dos que contêm as letras IA juntas e nessa ordem?
e) dos que mantêm as vogais juntas?
a) Cada anagrama é uma permutação simples das letras E, S, C, O, L, A
Logo, a resposta é P6 = 6! = 720
b) Nesse caso, temos anagrama que começam com S, C ou L. Em cada um deles basta permutar as 5 letras restantes.
3 . P5 = 3 . 5! = 3 . 120 = 360
=
c) São anagramas do tipo vogal . ____ _____ _____ _____ vogal
Para preencher as extremidades temos os elementos E, O, A ; logo, há 3 possibilidades de vogais para iniciar e duas para terminar e podemos preencher as posições retantes com as 4 letras que sobraram.
Logo a resposta é: 3 . 2 . 4! = 3 . 2 . 24 = 144.
d) O bloco ESA funciona como se fosse um elemento ( considero como uma letra apenas); basta, então, permutar os elementos ESA , C, O, L
Logo a resposta é 4! = 24
e) Cada bloco formado pelas vogais ( por exemplo, EOA ) funciona como um elemento e para cada bloco, temos P4 ( igual ao item anterior). Como não foi dado a ordem, significa que as letras que compõem o bloco podem permutar entre si.
Logo P4 . P3 = 4! . 3 ! = 24 . 6 = 144
Tente você!
Em relação aos anagramas da palavra VISTA, qual é o número:
a) total deles?
b) dos que começam com T ?
c) dos que terminam com vogal?
d) dos que contêm as letras IA juntas e nessa ordem?
e) dos que mantêm as vogais juntas?
quinta-feira, 7 de março de 2013
Assinar:
Postagens (Atom)